FSM-Groupe 1

Ce chapitre présente les notions fondamentales de la topologie dans l’espace euclidien $\mathbb{R}^n$. Il commence par l’étude des normes usuelles, en particulier les normes euclidienne, $1$ et infinie, et met en évidence leurs propriétés essentielles. Ensuite, les notions de boule et de voisinage sont introduites, permettant de définir les concepts d’ensembles ouverts et fermés. L’étude se poursuit par l’analyse des suites dans $\mathbb{R}^n$ et la caractérisation de leur convergence. Le chapitre aborde également les notions d’adhérence, d’intérieur et de frontière d’un ensemble, qui permettent de mieux décrire la structure topologique des parties de $\mathbb{R}^n$. Enfin, la notion de compacité est introduite à travers le critère séquentiel, en montrant qu’un ensemble est compact si et seulement si toute suite qu’il contient admet une sous-suite convergente dont la limite appartient à cet ensemble.